الهندسة “السيئة” تكسر تخمين البلاط الذي يعود إلى عقود

واحدة من أبسط وأقدم المشاكل في الهندسة فاجأت علماء الرياضيات ، ولم تكن هذه هي المرة الأولى.

منذ العصور القديمة ، تساءل الفنانون والمقاييس الهندسية كيف يمكن للأشكال أن ترسم المستوي بأكمله دون فجوات أو تداخلات. ومع ذلك ، “لم يُعرف الكثير حتى وقت قريب إلى حد ما” ، على حد قوله أليكس يوسيفيتشعالم رياضيات في جامعة روتشستر.

تكرر الأسقف الأكثر وضوحًا: من السهل تغطية الأرضية بنسخ من المربعات أو المثلثات أو الأشكال السداسية. في الستينيات ، وجد علماء الرياضيات مجموعات غريبة من البلاط التي يمكن أن تغطي الطائرة بالكامل ، ولكن فقط بطرق لا تتكرر أبدًا.

قال “تريد أن تفهم بنية مثل هذه الأسقف” راشيل جرينفيلد، عالم رياضيات في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، نيو جيرسي. إلى أي مدى يمكن أن يصابوا بالجنون؟

اتضح أنه مجنون جدا.

اعتمد النمط الأول غير المتكرر ، أو غير الدوري ، على مجموعة من 20.426 بلاطة مختلفة. أراد علماء الرياضيات معرفة ما إذا كان بإمكانهم خفض هذا الرقم. بحلول منتصف السبعينيات ، روجر بنروز (الذي سيواصل الفوز بجائزة نوبل في الفيزياء لعام 2020 للعمل على الثقوب السوداء) أن مجموعة بسيطة من قطعتين فقط ، يطلق عليها اسم “الطائرات الورقية” و “السهام” ، كافية.

ليس من الصعب التوصل إلى أنماط لا تتكرر. يمكن ثني العديد من الأسطح المتكررة أو الدورية لتشكيل أسقف غير متكررة. لنفترض ، على سبيل المثال ، شبكة لا نهائية من المربعات ، محاذية مثل رقعة الشطرنج. إذا قمت بإزاحة كل صف بحيث يتم تعويضه بمقدار مميز من الموجود فوقه ، فلن تتمكن أبدًا من العثور على منطقة يمكن قصها ولصقها كطابع لإعادة إنشاء التجانب الكامل.

الحيلة الحقيقية هي العثور على مجموعات من المربعات – مثل Penrose – يمكنها تغطية المستوى بأكمله ، ولكن فقط بطرق لا تتكرر.

رسم توضيحي: مجلة ميريل شيرمان / كوانتا

أثارت قطعتي Penrose السؤال التالي: هل يمكن أن يكون هناك بلاطة واحدة ذات شكل ذكي تناسب الفاتورة؟

من المثير للدهشة أن الإجابة هي نعم – إذا سمح لك بتغيير البلاط وتدويره وعكسه ، وإذا كان البلاط مفصولًا ، فهذا يعني أنه يحتوي على فجوات. تمتلئ هذه الفجوات بنسخ أخرى من البلاط تم تدويرها بشكل مناسب ، وتنعكس بشكل مناسب ، وتغطي في النهاية المستوى ثنائي الأبعاد بالكامل. ولكن إذا لم يُسمح لك بتدوير هذا الشكل ، فمن المستحيل تجانب الطائرة دون ترك فجوات.

في الواقع، قبل عدة سنواتعالم الرياضيات سيدهارتا بهاتاشاريا أثبت أنه – بغض النظر عن مدى تعقيد أو دقة تصميم البلاط الذي توصلت إليه – إذا كنت قادرًا فقط على استخدام التحولات أو الترجمات لقطعة واحدة ، فمن المستحيل عندئذٍ ابتكار مربع يمكنه تغطية المستوى بالكامل بشكل غير دوري ولكن ليس بشكل دوري.